0 0
183 посетителя

Блог пользователя Твоя Мама

Твоя Мама

Просто о финансах и фондовом рынке
1 – 5 из 51
Твоя Мама 23.03.2016, 17:18

Про Твою Маму

Твоя Мама — коллективный блог про личные финансы, экономику и фондовый рынок, рассчитанный на широкий круг читателей.

Мы считаем, что о подобных темах не только можно рассказывать простым языком, но и нужно: за сложными терминами и формулами, которые так любят финанситы, скрываются относительно простые понятия — и мы каждый день работаем, чтобы это доказать.

Миссия проекта — повышение финансовой грамотности населения в доступной и увлекательной форме. Блог развивается благодаря неоценимой поддержке компании EXANTE.

0 0
Оставить комментарий
Твоя Мама 01.04.2016, 11:18

All weather — квест идеального портфеля

Сегодня Сергей Голубицкий расскажет о фирменном инвестиционном портфеле Bridgewater — All Weather, способном, как явствует из названия, выстоять при любых штормовых предупреждениях на финансовых рынках.

Под идеальным портфелем понимается набор инвестиционных инструментов, который позволяет сводить к минимуму риски, связанные с любыми изменениями, происходящими на фондовом рынке.

Если мы хотим адекватно понять концепцию «идеального портфеля», для начала следует разобраться с недостатками традиционных форм пассивного инвестирования.

В отличие от активного инвестирования, при котором от нас требуется непосредственная вовлеченность в процесс выбора инструментов для вложения капитала (проще говоря — мы сами должны решать, какие ценные бумаги покупать в каждый момент, а от каких надлежит избавляться), пассивное инвестирование предполагает передачу наших сбережений в «руки профессионалов».

Самая популярная форма пассивного инвестирования — это паевой фонд (синонимы: паевой инвестиционный фонд (ПИФ), взаимно-инвестиционный фонд, взаимный фонд). Если попытаться классифицировать фонды по типу управления доверенными средствами, мы получим две глобальных схемы: управление ручное, при котором решение о выборе инструментов для инвестирования принимают профессиональные менеджеры, и так называемое индексное управление, в котором портфель фонда зеркально отражает поведение того или иного биржевого индекса.

Недостаток ручного управления в контексте «идеального портфеля» заключается в том, что наши деньги зависят от качества этого управления, то есть от опыта, уровня профессионализма, а иногда и банально от настроения людей, составляющих для нас инвестиционные портфели. Понимаю, что существуют рейтинги и прочие замысловатые способы оценки достижений работы инвестиционных менеджеров, однако все они, к сожалению, оперируют прошлыми данными и не могут ничего сказать о будущем. Почему? Именно потому, что эти рейтинги и историческая статистика отражают не качество самого портфеля, а лишь качество былых достижений конкретных лиц.

Недостаток индексного управления — в его привязке к поведению лишь двух типов ценных бумаг: по большей части к акциям публичных компаний, в меньше — к долговым обязательствам (облигациям) этих же компаний. Это обстоятельство само по себе, разумеется, является уже огромным прогрессом по сравнению с ручным управлением (неслучайно индексные паевые фонды давно уже затмили по популярности все фонды ручного управления, вместе взятые), однако и такой вариант не может считаться идеальным (а ведь мы сейчас занимаемся квестом именно идеального портфеля!), поскольку как минимум на трёх этапах экономического развития — инфляция, дефляция и рецессия — инвестирование только в акции и облигации себя не оправдывает. Так акции теряют стоимость в дефляцию и рецессию, а облигации, спасая при дефляции, не помогают при инфляции и рецессии.

Итак, идеальный портфель должен а) не зависеть от человеческого фактора, то есть привязываться к инструментам, а не к работе менеджеров, и б) защищать сбережения при любых обстоятельствах, то есть на любой из четырёх стадий действия краткосрочного и долгосрочного рыночных циклов: при экономическом подъёме (то, что называется Prosperity), инфляции, дефляции и рецессии (их мы подробно рассмотрели в предыдущем эссе «Модель устройства современной̆ экономики Рея Далио»).

Концепция идеального портфеля активно разрабатывалась в 70-е годы прошлого века, а в следующее десятилетие получила практическое воплощение в группе паевых фондов, объединённых теорией Гарри Брауна (Harry Browne) Fail-Safe Investing, безопасного инвестирования.

Гарри Браун был замечательным армейским ветераном, маркетологом, приверженцем экономических свобод и апологетом Американского пути обретения личной независимости, тесно связанного с протестантской этикой (амальгамой частной инициативы со строгими этическими нормами умеренности, уравновешенности и осторожности). Браун написал множество книг, напрочь лишённых аналитики, зато наполненных правильными лозунгами, а также дважды участвовал в президентской гонке (в 1996 и 2000 годах, набрав, соответственно, 0,5 и 0,4% голосов избирателей) от Либертарианской партии Соединённых штатов.

Основной продукт экономической мысли Гарри Брауна получил название Permanent Portfolio («постоянный портфель») и являл собой практическую реализацию идеи Fail-Safe Investing, «безопасного инвестирования». По крайней мере так казалось самому Брауну.

В теории Permanent Portfolio очень прост: для того, чтобы пережить любые невзгоды на фондовом рынке, нужно равномерно распределить все средства по четырём инвестиционным классам:

  • 25% вкладываются в обыкновенные акции, представленные в идеале эталонным индексным фондом Vanguard 500 Index (дублирующим поведение индекса S&P 500);
  • 25% вкладываются в долгосрочные долговые обязательства Казначейства США (Long-Term U.S. Treasury Bonds);
  • 25% держатся в денежных эквивалентах (то, что называется Money Market Funds — U.S. Treasury Bills, краткосрочные казначейские векселя, Certificates of Deposits, банковские депозитарные сертификаты, Corporate Commercial Papers, корпоративные коммерческие долговые бумаги);
  • 25% инвестируются в ценные металлы, в первую очередь в золото.

По замыслу Гарри Брауна «постоянный портфель» позволяет энергично зарабатывать в период экономического подъёма (за счёт обыкновенных акций и облигаций), держаться на плаву во время дефляции (за счёт облигаций) и инфляций (за счёт время золота), выживать в рецессию (за счёт денежных эквивалентов).

Поскольку Fail-Safe Investing и Permanent Portfolio получили практическую реализацию в одноименной группе фондов, у нас есть возможность оценить концепцию на довольно значительном промежутке времени — с 1982 по наши дни.

На протяжении почти 25 лет (с 1982 по 2006 год) Assets under Management (AUM, капитал в управлении) фондов Терри Коксана и Джона Чендлера, задумавших воплотить в жизнь идеи Гарри Брауна, не превышал 50 миллионов долларов, что, по меркам американских паевых фондов, является микроскопической цифрой. Однако затем начался головокружительный рост: 1 миллиард в 2007, 3,4 миллиарда — в 2008, 5 миллиардов — в 2009. Сегодня Permanent Portfolio Family of Funds управляет 17 миллиардами долларов — замечательное достижение.

В первую очередь популярность практической реализации «постоянного портфеля» вызвана двумя факторами: в период с 2001 по 2011 год фонд продемонстрировал блестящий результат — 11% среднегодового роста, что на фоне достижений индекса S&P 500 (1,6%) выглядит как подвиг. Второй фактор — историческая волатильность Permanent Portfolio Family of Funds за всё время его существования оказалась в четыре раза ниже (!) волатильности индекса S&P 500. Согласитесь, одного этого основания достаточно, чтобы привлечь деньги самых осторожных пассивных инвесторов.

Единственная ложка дёгтя (зато какая!) все 90-е годы «постоянный портфель» плёлся в фарватере S&P 500, а если ещё расширить временной диапазон (с 1982 по 2010 год), то среднегодовой результат фонда — 6,5% — отстаёт от индекса (10,6%), на мой взгляд, совсем катастрофически.

Зачем тратить жизнь (ну хорошо, не жизнь, а «всего лишь» 28 лет жизни) на «идеальный портфель», если безо всякой волшебной диверсификации можно было заработать в 1,5 раза больше? Единственное оправдание: в 1987, 2001 и 2008 годах, на адских обвалах фондового рынка, Permanent Portfolio позволял обходиться без валерианки и корвалола.

Теперь посмотрим, как суть «идеального портфеля» была реализована Реем Далио вместе с коллегами Бобом Принсом и Грегом Дженсеном в продукте, известном сегодня всему миру под названием All Weather.

Ключевая идея «идеального портфеля» Далио: диверсификация сама по себе не является защитой от капризов фондового рынка, характерных для того или иного периода краткосрочного и долгосрочного циклов. В качестве примера Далио приводит статистическую результативность «классики» диверсифицированного портфеля, которой следовали десятилетиями все менеджеры: 60% денег, вложенных в акции, и 40% — в облигации. В итоге мы получаем портфель, чей коэффициент корреляции с портфелем, состоящим из одних только акций, в последние 20 лет составляет — вы не поверите! — 0,98!

Происходит это потому, что в реальных условиях инвестирования доходности облигаций не хватает, чтобы покрыть убытки по акциям в портфеле. Иными словами, при распределении портфеля в равных долях между акциями и облигациями акции целиком и полностью подавляют эффект присутствия облигаций: диверсификация 60/40 в реальных условиях (Далио берет в качестве примера период с 1995 по 2015 год) напрочь лишена смысла.

Для того, чтобы снизить влияние волатильности рынка обыкновенных акций, потребуется снизить долю акций в портфеле едва ли не на порядок. Однако тогда мы получим доходность, несопоставимо более низкую, чем у портфеля, состоящего из одних лишь акций (либо из акций и облигаций в равных пропорциях), а именно — 6,5% среднегодовых (результат последних 20 лет инвестирования в S&P 500).

Выход из, казалось бы, неразрешимой дилеммы риск/доходность Далио видит в алгоритме регулирования портфеля, получившем название Risk Parity («паритет риска»). Пропорции между инвестиционными инструментами в портфеле следует устанавливать одновременно и по рискам (распределение между акциями и облигациями), и по доходности (условие, требующее как включения в портфель инструментов другого типа, так и применения леведержа ко всем составляющим портфеля). Делается это для того, чтобы при снижении риска, сохранить доходность на приемлемо высоком уровне.

Необходимо сразу обратить внимание читателя на то обстоятельство, что левередж (рычаг) неизбежно предполагает использование синтетических позиций, которые создаются с помощью инструментов срочного рынка (фьючерсов и опционов, как минимум), и потому делает портфель типа All Weather Рея Далио неприемлемым для большинства паевых фондов. По крайней мере по формальным признакам (запрет на использование деривативов на уровне устава взаимно-инвестиционных фондов).

По этой причине портфели типа All Weather — это вотчина хедж-фондов, которые не подпадают подобно простым паевым фондам под государственную регуляцию Законом об инвестиционных компаниях (Investment Company Act от 1940 года).

Как на практике осуществляется паритет риска в портфеле All Weather, который является флагманом компании Bridgewater? Для наглядности я возьму пример, используемый самим Далио, и связанный с «классической» диверсификацией 60/40 (между акциями и облигациями).

Предположим, мы хотим снизить риск портфеля и уйти от корреляции 0,98%. Самое простое, что можно сделать, как мы уже говорили, — это снизить долю акций. Так, пропорция 75% облигации и 25% акции, обеспечит снижение риска инвестиции на 3%. При этом также произойдёт снижение доходности на целых 50 базисных пункта.

Теперь представьте себе другой подход: одновременно с изменением доли акций в портфеле мы применим рычаг к облигациям, повысив их риск до уровня акций. В этом случае мы можем добиться ситуации, когда риск портфеля останется на прежнем уровне, а вот доходность повысится на 1,5% (в нашем примере с 6,5 до 8).

Помимо выравнивания портфеля All Weather одновременно по риску и по доходности (цель: добиться такой баланса, при котором снижение риска будет существенно выше, чем снижение доходности), диверсификация осуществляется таким образом, чтобы свести к минимуму влияние на доходность различных этапов краткосрочного и долгосрочного экономических циклов (цель: создать идеальный портфель, который бы приносил максимально возможную доходность без необходимости предсказывать поведение рынка, без так называемой альфы).

В первой статье нашей минитрилогии о Рее Делио я уже приводил схему, отражающую диверсификацию активов в портфеле All Weather.

Распределение инвестиционных инструментов в All Weather производится по двум критериям: росту экономики (Growth) и отражению этого роста в ценах, то есть мера инфляции (Inflation).

Для каждого из двух критериев возможны два сценария: экономика растёт или падает (= рецессия), инфляция растёт или падает (= дефляция). Поскольку All Weather — «бета»-портфель, который не пытается предсказать будущее (для подобных игр у Bridgewater есть самостоятельный фонд — Pure Alpha), активы распределяются по четырём возможным состояниям в равных долях по степени риска:

  • 25% риска распределяется в активы, которые хорошо себя чувствуют в ситуации экономического роста. Это акции, сырьевые фьючерсы, корпоративные долговые обязательства и кредитование развивающихся рынков;
  • 25% риска распределяется в активы, которые хорошо себя ведут при росте инфляции. Это индексируемые государственные облигации (Inflation-Linked Bonds), сырьевые фьючерсы и кредитование развивающихся рынков;
  • 25% риска распределяется в активы, которые предоставляют защиту во время рецессии: обычные облигации (Nominal Bonds, то есть те, что выплачивают фиксированный купон без учёта инфляции) и индексируемые государственные облигации;
  • 25% риска распределяется в активы, которые обеспечивают достойный доход в период дефляции: акции и обычные облигации.

Главный практический результат портфеля All Weather: риск инвестирования снижается на 33% относительно «классики» — портфеля, состоящего на 60% из акций и 40% из облигаций. Технически это означает, что если произвести леведерж (что и происходит в All Weather!), доведя уровень риска до уровня портфеля 60/40, доходность повысится на 50%.

Следующий график позволит нам подвести итог под сегодняшним рассказом.

Перед нами сравнение кумулятивной доходности портфеля All Weather, индекса S&P 500 и Permanent Portfolio с момента публичного запуска этого продукта Bridgewater в 1995 году. Как видите, идеальный портфель Рея Далио принёс почти в два раза больше денег, чем индексный фонд S&P 500, и существенно опередил Permanent Portfolio.

0 0
Оставить комментарий
Твоя Мама 28.03.2016, 11:18

ЗАДАЧА О КОТИРОВКЕ, КОТОРАЯ НИКОГДА НЕ ВЕРНЕТСЯ

Парадоксы, которые работают при случайном блуждании пьяного человека и при игре в казино, работают и на биржевом рынке. И зачастую работают неожиданным образом, разоряя незадачливых, а подчас и опытных трейдеров.

Большинство трейдеров знают важное правило биржевой игры: если ты купил акцию, а она подешевела, то не спеши её продавать. Скорее всего, она рано или поздно вернётся на былую позицию, да ещё и пойдёт вверх. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт. Очень часто трейдер ждёт месяц, год, десять лет — а цена акции “на место” не возвращается. Вроде бы и фирма не банкрот, и кризисов особых нет — но котировка как когда-то просела, так и “толчётся” недалеко от цены покупки. И скачет по всякому, а возвращаться не хочет. Как будто специально, чтобы тебе “насолить”. Но злого умысла тут нет, а есть очередной парадокс теории игр.

Беспроигрышная игра с нулевой выгодой

Поставим следующую задачу. На бирже есть множество акций с разными ценами. За день цена каждой акции может равновероятно увеличиться или уменьшиться на доллар. Инвестор заходит на биржу раз в день. В первый день он покупает первую попавшуюся акцию в количестве 1000 штук. Затем он ждёт, когда цена акции поднимется на доллар. После этого он продаёт весь пакет акций (получив прибыль $1000) и тут же покупает какую-то новую акцию в том же количестве 1000 штук. Затем он ждёт их подорожания на доллар, тоже продаёт (вновь с прибылью $1000), и так далее.

Предположим, что ни одна фирма разориться не может, даже если цена акций отрицательна. Поэтому игра для инвестора беспроигрышна: при каждой сделке он лишь приобретает выгоду.

Зададим два вопроса.

  • Каким будет среднее время ожидания подорожания акции на доллар?
  • Каким будет средний доход инвестора?

Это новая формулировка всё той же задачи о случайном блуждании точки и времени её возврата к начальному значению (точнее — о пересечении начального значения). И мы знаем, чего здесь следует ожидать. Вновь приведём знакомые графики.

С вероятностью ½ пакет удастся выгодно перепродать уже на следующий день, с вероятностью ⅛ — через три дня, и так далее. Примерно в каждом десятом случае ожидание затянется на 100 дней, в каждом сотом — на 10 тысяч дней, в каждом тысячном — на миллион дней (три тысячи лет). При неограниченном времени игры среднее время ожидания будет стремиться к бесконечности, а средний доход — к нулю.

Хотя эта задача идеализирована, она даже в такой простой формулировке объясняет, почему описанная тактика биржевой игры — не панацея для неограниченного обогащения. Трейдеры знают, что описанная ситуация — это игра на заявке типа Take Profit: продать акцию, как только её цена на указанную величину превысит цену покупки. Эта тактика, действительно, почти беспроигрышна (если не учитывать комиссий), но в чистом виде толку от неё немного. Поэтому попробуем усложнить задачу. Быть может, некоторые новые условия позволят сделать игру выгодной?

Бесконечность можно убрать, а ноль и ныне там

Оставим условия задачи теми же, но введём одно дополнительное ограничение: если акции не подорожали на доллар за X дней, инвестор всё равно продаёт их, пусть и с убытком.

  • Каким будет средний доход инвестора?
  • При каком X игра наиболее выгодна?

Ограничение на время цикла купли-продажи “разрубает гордиев узел” бесконечных решений, но грозит убытком. Чего будет больше — прибылей или убытков?

Предположим, что инвестор решил отсечь лишь самые длинные “полёты”, установив X=100. Если котировка не вернулась к нужному значению за100 дней (3 месяца), то акция продаётся. Как уже известно из задачи о пьяницах, убыток, скорее всего, составит порядка $10000 (котировки будут находиться ниже начального значения на $10, и таких акций — 1000 штук). Вероятность такого события — примерно 1/10. В остальных 9 случаях инвестор получит выгоду по $1000 за сделку. Получается, что прибыли примерно равны убыткам, и игра не стоит свеч. Те же проблемы будут при любых больших X, когда доля слишком длинных полётов (полётов Леви) пропорциональна квадрату X. Но может быть, игра будет выгодной при малом X, когда степенной закон не работает?

Очевидно, что ставить X=1 нельзя, ибо тогда в одной половине случаев акции будут продаваться с выгодой $1000, а в другой половине — с таким же убытком. При X=3 выгодными будут ⅝ от всех сделок, а невыгодными — ⅜. Прибыль во всех выгодных сделках будет равна $1000. Две трети невыгодных сделок дадут убыток $1000, а одна треть — $3000. Средний выигрыш равен $(5*1000-2*1000-1*3000)/8=$0. И то же получается вообще при любом X.

Ограничить не время, а убытки?

Прочитав предыдущий раздел, практикующий трейдер скажет: наверное, неправильно ограничивать время блуждания котировки, когда можно напрямую ограничить убытки. То есть поставить заявку Stop Loss, которая продаёт акции, цена которых спустилась от начального значения на M долларов. Но степенные законы распределений коварны, и таким ограничением в нашей задаче всё равно нельзя добиться выгоды.

Если M=-1, то невыгодно будет продаваться каждый второй пакет акций — это нас не устраивает. При M=-2 ситуация сложнее. С вероятностью ½ инвестор получит выгоду $1000 уже в первый день, но с вероятностью ¼ он получит убыток $2000 во второй день. С вероятностью ⅛ он получит $1000 в третий день, но с вероятностью 1/16 получит убыток $2000 в четвёртый день. Сколько бы мы ни продолжали этот ряд, средний опять выигрыш равен 0. И то же будет при других значениях M. Убыток всегда пропорционален M, а вероятность этого убытка — обратно пропорциональна M. В сухом остатке, средний убыток равен средней прибыли.

Вовремя выйти из игры?

Предпримем последнюю попытку найти выгодную тактику в этой странной игре. Можно поверить, что при бесконечной игре средний выигрыш равен нулю. Ещё понятнее, почему невыгодна игра при “обрубании” полётов с явным убытком. Но почему бы не совершить, например, строго ограниченное число сделок за явно достаточный период времени? Например, 10 сделок за 10 лет. Не “обрубать” полёты котировок, а ждать, сколько потребуется.

На первый взгляд, на интервале в 10 лет должны почти гарантированно поместиться все сделки. Но оказывается, что даже при скромной цифре в 10 сделок это не совсем так. Вероятность, что хотя бы одна сделка продлится дольше 10 лет, составляет порядка десяти корней из 1/3650, то есть 0.1676. А это немало. Впрочем, едва ли затянувшаяся сделка будет в этой череде первой. Есть ненулевая (и весьма большая) вероятность, что инвестор всё же успеет совершить несколько сделок. И все они будут с положительной выгодой.

Значит, средний ожидаемый доход всё же положителен? Увы, в наши рассуждения вкралась ошибка. Мы не разобрались, что будет, если одна из позиций всё-таки осталась незакрытой. А это, фактически, означает долг. И если всё аккуратно вычислить, то вероятный размер этого долга составит ровно столько, сколько инвестор успел заработать. Точно как в случае, когда мы “обрубаем” затянувшийся возврат.

Итак, наши попытки найти заведомо выигрышную тактику в данной игре напоминают поиск “вечного двигателя” — попытку обмануть тот простой факт, что скачки котировок полностью случайны и движение вверх и вниз равновероятно. Это типичная игра с нулевой суммой.

Ближе к реальности

Теперь необходимо всерьёз поставить вопрос: какое отношение все эти рассуждения имеют к реальности? Задача о пьяницах была шуточной и содержала грубые упрощения. Задача о казино была уже более серьёзной, так как казино может строго задать даже самые вычурные правила. Но всё-таки она касалась игры. А когда мы рассуждаем о котировках, стоит вопрос о работе реального финансового мира, работе производств, распределении богатств и т. д. И если бы рынок действительно работал как описанный генератор случайных чисел, то играть на колебаниях цен было бы бессмысленно. Успешных профессиональных трейдеров не могло бы существовать. Все трейдеры были бы не более, чем игроками в казино.

Но реальная жизнь — это не идеальная математика и не казино. Вот лишь несколько отличий.

  • На реальном рынке не бывает бесконечных денег.
  • Реальные фирмы могут разоряться.
  • При реальной торговле брокер берёт за сделку комиссию
  • Реальные акции могут давать дивиденды.
  • Реальная статистика скачков цен не полностью случайна, ибо есть политика и многое другое.
  • На реальных котировках бывают не только долларовые скачки, а какие угодно.
  • На реальных котировках, помимо случайного движения, существуют циклы.

Некоторые из этих факторов (дивиденды, циклы, зависимость рынка от политики) облегчают жизнь трейдера. Но некоторые (комиссии, разорение фирм) — усложняют.

Главный проблемный факт, который есть не только в идеализированных моделях, но и в реальной торговле — это степенная статистика времён возврата цен на прежние позиции (и полёты Леви). Колебания на реальном рынке не совсем случайны, но если мы многократно отследим времена возврата котировок к начальному положению, мы получим знакомые нам графики, которые выглядят как прямые в дважды логарифмическом масштабе. Действительно, котировки чаще всего возвращаются через короткое время. Но если не возвращаются долго — то на них можно махнуть рукой.

Благодаря быстрым внутридневным циклам в течение дня цена акции может несколько раз вернуться на прежнее место. И этим активно пользуются так называемые скальперы: купил акцию по цене $50, через секунду она стала $49.99, а ещё через секунду — $50.01. Скальпер продал её и получил выгоду. Выгодный скальпинг возможен благодаря неполной случайности колебаний и наличию циклов. Но и здесь необходимо помнить о возможностях больших полётов. Если скальпер утратил внимание, а цена акции случайно просела на целый доллар (в 100 раз сильнее, чем он рассчитывал), то не стоит думать, что она вернётся через 100 секунд. Если тренд будет положителен, она вернётся через 10000 секунд, а если отрицателен — то может просесть на десятилетия и века. А для трейдера, который хочет заработать здесь и сейчас — это не слишком отличается от бесконечного времени возврата.

Не только в идеализированной задаче, но и на реальном рынке цена, далеко отошедшая от начального положения, может колебаться там сколько угодно. Её ничто не “тянет” обратно. Если говорить в математических терминах, в начальной точке нет никакого аттрактора, она ничем не лучше других. Есть вероятность, что котировка будет возвращаться бесконечно долго. И если при идеальном случайном блуждании вероятность этого бесконечно мала, то в реальном мире вероятность невозврата конечна, например, потому что фирма может обанкротиться.

0 0
Оставить комментарий
Твоя Мама 23.03.2016, 13:00

ЗАДАЧА ОБ ИГРОКЕ, КОТОРОГО НЕЛЬЗЯ ВЫГНАТЬ ИЗ КАЗИНО

Продолжаем публикацию цикла статей Виктора Аргонова о теории вероятностей и ее использованию в области финансов. Сегодня поговорим о казино и о том, почему богатые становятся еще богаче.

Задача о блуждании пьяницы возле бара - задача смешная и удобная для иллюстрации такой важной математической абстракции как случайное блуждание точки по прямой. Но с давних времён движение пьяных волновало людей меньше, чем движение капиталов. Именно финансовые задачи были исторически одними из первых в теории вероятностей. Например, в ещё 1650-х годах знаменитые учёные Блез Паскаль и Христиан Гюйгенс начали исследовать так называемую задачу о разорении игроков. Она имеет много разных формулировок, но мы сосредоточимся на одной из них - особенно парадоксальной.

Игрок покупает у казино M фишек, каждая из которых стоит доллар (деньги, заплаченные за фишки - его плата за участие в игре). Раз в минуту крупье бросает монету. Когда она падает решкой, он забирает одну из фишек игрока. Когда орлом - даёт игроку дополнительную фишку. Число фишек у казино не ограничено, так что разориться казино не может. Зато игрок - может. Игра идёт до тех пор, пока игрок не потратит все фишки. Таким образом, выиграть деньги он не может. Это игра “в одни ворота”. Но пока она идёт, игрок имеет право бесплатно пить, есть, общаться с другими игроками и как-то иначе развлекаться за счёт казино (ему не обязательно присутствовать рядом с крупье, который всё делает честно).

Зададим четыре вопроса.

  • Какова вероятность разорения игрока после N ходов?
  • Каким будет медианное время игры?
  • Каким будет среднее время игры?
  • Стоит ли на практике играть в такую игру и за какую “входную плату”?

Эта задача почти совпадает с прошлой задачей о пьяницах. Один бросок монеты аналогичен одному шагу. Увеличение или уменьшение числа фишек аналогично движению взад и вперёд. А разорение аналогично возвращению в бар. Поэтому вероятность разорения игрока падает с ростом N по такому же степенному закону, как и вероятность возврата пьяницы. Здесь тоже будут аномально затянувшиеся партии (полёты Леви), из-за которых среднее время разорения игрока бесконечно. Единственное отличие состоит в том, что игрок стартует не с нуля фишек, а с M. Поэтому медианное время игры теперь другое: оно примерно пропорционально M в квадрате.

Что это значит на практике?

10000 нищих разоряют казино

Для начала рассмотрим простейший случай: M=1. В казино заходит нищий с 1 долларом. Теперь задача максимально близка к задаче о пьяницах. Медианное время составит лишь 1 ход (с вероятностью ½ на первом же ходе игрок получит решку). Но среднее ожидаемое время игры, согласно формулам, равно бесконечности. Чем это грозит для казино?

Если в казино придёт не один и не два нищих, а 100, 1000 и больше, то примерно половина из них “отсекутся” на первом ходу, но среди оставшихся найдутся “удачливые”, которые представляют для казино немалую угрозу. Подобно тому, как раньше среди пьяниц оказывался некий процент “авантюристов”, которые надолго уходили от бара, так и теперь среди игроков есть некий процент “удачливых”, игра которых может затянуться на сутки, месяцы и годы (длинные полёты Леви).

Число “удачливых” будет примерно таким же, как и число “авантюристов” в задаче о пьяницах. Достаточно взглянуть на графики. С увеличением N доля игроков, оставшихся в казино, обратно пропорциональна корню из N. Каждый десятый игрок остаётся в игре примерно до сотого хода, каждый сотый - до десятитысячного, а каждый тысячный - до миллионного!

Это значит, что если в казино придёт 1000 нищих с 1 долларом, то из них 1-2 человека “поселятся” в казино на несколько лет! А если придёт 10000 нищих, то среди них может найтись человек, который получит право на сотни лет бесплатных развлечений! И это при том, что для большинства остальных участников игра по-прежнему продлится порядка минуты.

Эта задача наглядно показывает, насколько осторожно надо себя вести организаторам азартных игр. Далеко не всегда прибыли и убытки можно оценить “на глазок”. Если задача о блуждании пьяниц была шуточной, то в казино действительно можно реализовать игру строго по таким правилам, без отклонений от математической модели. И будто бы пустяковая игра, в которой все козыри на стороне казино, может легко разорить его.

Один игрок с 10 000 долларов разоряет казино

При M>1 ситуация для казино может оказаться ещё хуже: теперь игрокам даже не потребуется большого числа партий.

Медианное время игры равно M в квадрате. То есть оно зависит от начального капитала игрока так же, как и время игры самого удачливого нищего - от числа нищих (и их суммарного капитала). И это не просто совпадение, здесь есть глубинная связь, о которой мы поговорим ниже. Но сначала оценим прогнозы для игры при разных M.

Если в казино придут два друга и каждый поставит по 10 долларов, то хотя бы один из них, скорее всего, “погуляет” за счёт казино более полутора часов (медианное время игры - 100 минут). А если поставят по 100 долларов - то оба с высокой вероятностью смогут круглые сутки развлекаться примерно месяц. 10000 же долларов будет достаточно, чтобы “поселиться” казино на сотни лет (!).

Стартовый капитал имеет значение

Нетрудно понять, почему результаты “удачливых” нищих так похожи на результаты людей, которые изначально пришли с деньгами. “Удачливые” - это те, кому на каком-то этапе игры удалось благодаря случайным орлам “сколотить” капитал, который в дальнейшем трудно разорить. Чем выше человек поднялся на случайных орлах, тем труднее его “спустить обратно на землю”. Непропорционально труднее.

Вспомним, что в задаче о пьяницах среднее отклонение траектории от начального положения пропорционально корню из её продолжительности. Пьяница, который сделал 100 шагов, скорее всего, находится где-то в 10 шагах от бара. А тот, кто сделал 10000 шагов - в 100 шагах. Верно и обратное: если пьяница находится в 10 шагах от бара, то, чтобы вернутся в бар, ему потребуется порядка 100 шагов (таким будет медианное время возврата). А если находится в 100 шагах - то 10000 шагов. Аналогично, если в ходе игры нищему посчастливилось “поймать” на 9 орлов больше, чем решек (и получить 10 фишек), то его дальнейшая игра не будет отличаться от игры того, кто сразу купил 10 фишек. Для обоих медианное время игры составит 100 минут. А тот, кто случайно взял 100 фишек, дальше будет играть порядка 10000 минут.

Этот вывод из теории игр имеет далеко идущие последствия. Он объясняет экономическое неравенство в человеческом обществе и говорит, как важен “запас прочности” компаниям. Компания или отдельный богач, однажды сколотившие большой капитал, зачастую могут сохранять его столетиями, тогда как мелкие стартапы появляются и исчезают с огромной скоростью. И эти рассуждения имеют непосредственное отношение к динамике котировок акций, о которой мы расскажем в следующей части.

0 0
Оставить комментарий
Твоя Мама 17.03.2016, 13:00

ЗАЧЕМ ТРЕЙДЕРУ ИЗУЧАТЬ ДВИЖЕНИЕ ПЬЯНИЦ ВОЗЛЕ БАРА?

Репост оригинальной статьи: http://your-mom.ru/2016/03/17/886

Сегодня мы открываем цикл научно-популярных статей о теории вероятностей. А конкретно — о некоторых её неожиданных приложениях в финансовых делах.

Сотни лет математики без зазрения совести оперируют с бесконечными величинами: умножают, делят, сравнивают разные бесконечности между собой и т. д. Бесконечные величины — одна из самых абстрактных категорий математики, но иногда они влияют на реальную жизнь. В частности — на жизнь финансовую.

В теории вероятностей известны парадоксы, когда формулы обещают трейдеру бесконечные выигрыши, а фирме — бесконечное время процветания. Над такими ситуациями принято смеяться, считая, что математики — это какие-то “безумные учёные”. Но не всё так просто. Бывают случаи, когда бесконечности если не напрямую проникают в жизнь, то, по крайней мере, сильно “сквозят” на неё. О некоторых таких парадоксах мы и расскажем в этом цикле.

В теории вероятностей важное значение имеет задача о случайном блуждании точки. В исконной формулировке она весьма абстрактна: точка случайно движется в разные стороны. Но в жизни эта задача имеет множество конкретных приложений, в том числе — финансовых. Однако для начала мы познакомимся с ней не на экономическом, а на юмористическом примере: о случайном блуждании пьяного человека.

Блуждающие пьяницы в теории

Представим себе пьяницу, который вышел из бара и собирается куда-то идти. Но он настолько не ориентируется в пространстве, что каждый шаг делает в случайном направлении. Он не помнит, в какую сторону только что двигался. Правда, бар находятся в тупике узкой улицы, которая обнесена заборами. Движение возможно лишь в двух направлениях: от бара и обратно. Первый шаг пьяница делает всегда вперёд (из бара), а затем его движение случайно, но в рамках одной координаты: шаг вперёд, шаг вперёд, шаг назад, шаг вперёд, шаг вперёд, шаг назад, шаг вперёд, шаг вперёд и т. д. В математике такой процесс называется одномерным случайным блужданием.

Зададим ещё одно условие: если во время блуждания пьяница случайно вернётся к бару, то его остановят охранники, заведут в бар и уложат спать на ближайшее кресло.

Представим, что в баре много пьяниц. Они время от времени покидают его, но все к этому времени могут лишь случайно блуждать по улице. А мы наблюдаем за этим, зарисовываем траекторию каждого и отмечаем время, когда человек вернулся обратно в бар.

Зададим три вопроса:

  • На каком расстоянии от бара, в среднем, окажется пьяница через N шагов?
  • Каким будет медианное время возврата пьяниц (время, через которое половина пьяниц вернётся в бар)?
  • Каким будет среднее время возврата пьяниц (суммарное время блуждания всех пьяниц делённое на их число)?

Первый вопрос имеет простой ответ, известный студентам: корень из N. Если пьяница сделает 100 шагов, то, скорее всего, окажется в 10 шагах от бара. Если сделает 10000 шагов — то в 100 шагах.

Второй вопрос легко решить из простейших соображений. По условию задачи, первый шаг пьяница непременно делает вперёд. Затем с вероятностью ½ он делает шаг обратно в бар. Значит, уже через 2 шага половина пьяниц вернётся в бар, потому медианное время возврата равно 2 шага.

Но третий вопрос имеет странный ответ, о котором обычно не говорят в университетах, и который особенно удивительно услышать после ответа на первые два вопроса. Многие люди не различают медианное и среднее время (как и, например, медианную и среднюю зарплаты). Но эти величины могут отличаться очень сильно. А в нашем случае, как доказали математики, среднее время возврата пьяницы к бару равно... бесконечности. По крайней мере, так следует из математических формул.

Как такое возможно? Попробуем разобраться.

Блуждающие пьяницы в мысленном эксперименте

Ещё раз вспомним, что такое средняя величина и как она вычисляется. Чтобы найти среднее положение пьяницы через N шагов и среднее время его возврата к бару, надо провести эксперимент много раз, в каждом случае измерить эти величины, а потом найти из них среднее арифметическое.

Допустим, что сначала мы проследили за пятью людьми и получили простые результаты. Два человека вернулись после 2 шагов (вперёд-назад), ещё один вернулся через 4 шага (вперёд-вперёд-назад-назад) и ещё два погуляли по 8 шагов по более замысловатым траекториям. Медианное время возврата составило 3 шага, что близко к теоретической оценке (2 шага). Среднее время возврата равно (2*2+1*4+2*8)/5=24/5=4.8 шага. Казалось бы, время очень маленькое, и никаких тебе “бесконечностей”.

Но 5 опытов — это слишком мало для хорошей статистики. В следующий раз мы решили отследить 20 человек. Мы получили картину, показанную на рисунке.

Половина участников “ралли” (10 человек), как и раньше, вернулись через 2-4 шага. Ещё 6 человек вернулись после одного-трёх десятков шагов. Но оставшиеся 4 человека ушли в “свободное плавание”, и их путешествия даже не влезли на график. Они вернулись, соответственно, через 140, 198, 202 и 298 шагов.

Среднее отклонение “путешественников” от начального положения вполне согласуется с теорией. Например, после 20 шагов теория прогнозирует расстояние 4-5 шагов (корень из 20). На графике в момент N=20 есть траектории лишь 7 человек (остальные давно спят в баре и мы их исключили из рассмотрения). Из них двое только что вернулись в бар (их отклонение равно нулю), один находится в двух шагах от бара, один в четырёх, двое в шести и последний — в 10 шагах. Среднее отклонение от бара составляет (2*0+1*2+1*4+2*6+1*10)/7=28/7=4 шага. Как и велит теория.

Медианное время возврата оказалось вдвое больше теоретической оценки — 4 шага. Но такая ошибка терпима при нашем не слишком большом числе опытов.

Куда сложнее обстоит ситуация со средним временем возврата. Оно составляет (7*2+3*4+1*8+1*10+2*20+1*30+1*34+1*140+1*198+1*202+1*298)/20 = 986/20 = 49.3 шагов (!). Этот результат не имеет с прошлым ничего общего, и всё из-за четырёх “авантюристов”. Почему их не было раньше? Случайность? Может, надо отследить ещё больше пьяниц, и тогда найдётся реальное значение среднего времени блуждания?

Подвох задачи состоит в том, что чем более масштабные эксперименты мы будем проводить, тем большим будет получаться среднее время возврата. Половина всех пьяниц будет добросовестно возвращаться после 2-4 шагов. Но среди оставшихся будет доля “авантюристов”, готовых уйти от бара очень далеко.

Графики вероятности нахождения пьяницы на улице после N шагов и вероятности его возвращения в бар ровно на N-м шаге (в линейном и логарифмическом масштабах по обеим осям). Оба графика при больших N являются степенными функциями, поэтому в дважды логарифмическом масштабе выглядят как прямые.

Математики вывели формулу, по которой можно вычислить вероятность возврата пьяницы в бар на N-м шаге и вероятность его нахождения на улице после N-го шага. В общем виде эти формулы сложны, и мы приведём лишь их графики (см. рисунок). Пьяница может вернуться в бар только на чётном шаге. На 2-м шаге вероятность вернуться в бар и вероятность остаться на улице равны 1/2. Вероятность вернуться в бар ровно на 4-м шаге равна ⅛, а вероятность всё ещё остаться на улице — ½-⅛=⅜. При больших N вероятность вернуться в бар обратно пропорциональна N в степени 3/2, а вероятность всё ещё быть на улице — корню из N.

Это означает, что часть пьяниц будет блуждать очень долго. Например, при N=100 на улице всё ещё останется каждый десятый из участников “забега”, при N=1000 — каждый тридцатый, при N=10000 — каждый сотый. В математике такие долгие возвраты со степенной статистикой называются “полётами Леви”. Парадоксальная особенность полётов Леви состоит в том, что с увеличением числа экспериментов их среднее время растёт.

Если у нас 10 человек, то самый “авантюрный” пройдёт примерно 100 шагов, а большинство остальных — 2-4 шага. Его длина прогулки может запросто превысить суммарную длину прогулок остальных участников. Их вклад в сумме даст 20-40 шагов, а его — 100 шагов. Среднее время возврата составит 12-14 шагов.

Если у нас 100 человек, то самый “авантюрный” пройдёт 10000 шагов, а большинство остальных — по-прежнему 2-4 шага. На этот раз их вкладом можно вообще пренебречь. Среднее время возврата составит порядка 100 шагов.

Длина пути самого “авантюрного” участника, как правило, будет пропорциональна квадрату числа участников, а среднее время возврата — пропорционально самому числу участников. С увеличением числа участников среднее время возврата будет стремится к бесконечности — хотя и сами по себе траектории конечны. В этом состоит странный, хотя и математически строгий и даже экспериментально проверяемый (с поправкой на ограниченность реально возможного числа опытов) результат.

Этот результат имеет принципиальное значение не только в вопросе о движения пьяниц, но и в более важном для нас вопросе — в вопросе о движении капиталов. Движение котировок ценных бумаг и валютных курсов, обогащение и разорение азартных игроков и реальных производственных фирм — всё это можно моделировать случайными процессами, которые часто сводятся к задачам о случайном блуждании точки по прямой. И там тоже случаются свои полёты Леви. Об этом мы поговорим в следующих частях.

0 0
Оставить комментарий
1 – 5 из 51
 
оформить разрешение на применение в крaтчайшие сроки
Find out opening and closing time of Banks in UK
Онлайн кредитный калькулятор
Обзор банков выдающих кредит наличными без справок и поручителей от http://eurocredit.ru/
Поставщик серверной техники: http://www.ritm-it.ru. Серверы и сетевое оборудование.
Куплю лицензии у Протоса
 
заработок в интернете https://idco.ru
крупнейший форум по сро в России
 
купить трафик
Деловая доска объявлений для бизнеса